Distribuição log-normal: v.4.24
Em probabilidade e estatística, uma variável aleatória é uma distribuição de probabilidade, cujo logaritmo é normalmente distribuído. Uma variável aleatória X tem a distribuição log-normal quando o seu logaritmo Y = log(X) tem a distribuição normal.
Logo, sua função de densidade é:
{\displaystyle f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\left(\ln(x)-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}
A importância da distribuição log-normal se deve a um resultado análogo ao Teorema do Limite Central: assim como uma distribuição normal aparece quando são somadas várias variáveis independentes, a distribuição log-normal aparece naturalmente como o produto de várias variáveis independentes (sempre positivas).
Média
O valor esperado de X = exp (Y), quando Y é uma variável aleatória normal, vale:
{\displaystyle E(X)=E(\exp(Y))=\exp(E(Y)+0.5{\mbox{var}}(Y))\,}
em que var(Y) é a variância de Y.
Variância
A variância da log-normal também pode ser expressa em função da normal. Sendo {\displaystyle X=\exp(Y)\,} e Y normal, temos:
{\displaystyle {\mbox{var}}(X)=\exp(2E(Y)+{\mbox{var}}(Y))(\exp({\mbox{var}}(Y))-1)\,}
Fórmulas inversas
Seja {\displaystyle X=\exp(Y)\,}, então a média e variância de Y podem ser expressas em função da média e variância de X como:
{\displaystyle E(Y)=\ln(E(X))-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+{\frac {{\mbox{var}}(X)}{(E(X))^{2}}}\right),}
{\displaystyle {\mbox{Var}}(Y)=\ln \left({\frac {{\mbox{Var}}(X)}{(E(X))^{2}}}+1\right).}
Como citar este texto:
Rodrigues, W.C., 2024. Distribuição log-normal. DivEs - Diversidade de Espécies v.4.24.99.2404 (AntSoft Systems On Demand) - Guia do Usuário. Disponível em: <https://dives.antsoft.com.br>. Acesso em: 21/11/2024
Texto criado em: 08/04/2024 - Atualizado em: 08/04/2024
Versão do guia Online: 3.0.9.2401 - Atualizado em: 09/01/2024